Mladý bek je rodákem z Rokycan, v plzeňském klubu prošel všemi mládežnickými celky. Extraligovou premiéru si připsal v dresu Škody coby šestnáctiletý v únoru roku 2016 na ledě Mladé Boleslavi. Od sezóny 2016/17 nastupoval David Kvasnička v A týmu Plzně pravidelněji, stále si však připisoval starty také za týmy dorostu a juniorů.
V následujících ročnících nastupoval jak za mužstvo indiánů, tak v týmech Litoměřic či Klatov, kde sbíral cenné zkušenosti. Pro sezónu 2019/20 poprvé změnil extraligové angažmá, když z Plzně zamířil do Vítkovic. Kromě ostravského celku nastupoval v uplynulém ročníku také za prvoligový Havířov. Kvasnička v Tipsport extralize odehrál před sezónou 2020/21 dohromady 109 zápasů – z toho 73 za Plzeň – a připsal si celkem 12 kanadských bodů (2+10). Za indiány nastoupil rovněž do 11 duelů v Champions Hockey League.
Po svém návratu v "covidové" sezóně stihl šestatřiceti utkání s bilancí šesti bodů (2+4), v pro obránce důležité statistice +/- byl na +11.
David Kvasnička byl pravidelným mládežnickým reprezentantem České republiky. V letech 2016 a 2017 se zúčastnil světových šampionátů hráčů do 18 let, startoval také na mistrovstvích světa hráčů do 20 let, a to v letech 2017 a 2019.
Po svém návratu odehrál drtivou porcí zápasů Škody, naskočil i ve druhé lize za Klatovy a zaznamenal čtyři kanadské body.
Info: 1.5.2023
| Kolo | Datum | Utkání | Skóre | G | A | B | +/− | TMin |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| PK3 | 9.3.2024 | HC Škoda Plzeň vs HC Verva Litvínov | 1:2p | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 |
| PK2. TV | 7.3.2024 | HC Verva Litvínov vs HC Škoda Plzeň | 4:1 | 0 | 0 | 0 | -1 | 4 |
| PK1 | 6.3.2024 | HC Verva Litvínov vs HC Škoda Plzeň | 4:2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 52. | 3.3.2024 | HC Škoda Plzeň vs Bílí Tygři Liberec | 3:6 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 51. | 1.3.2024 | Mountfield HK vs HC Škoda Plzeň | 3:1 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 |
